补充

对于旋转矩阵

R_{\theta} = \begin{pmatrix} cos_{\theta} & -sin_{\theta} \\ sin_{\theta} & cos_{\theta} \end{pmatrix}

R_{-\theta} = \begin{pmatrix} cos_{\theta} & sin_{\theta} \\ -sin_{\theta} & cos_{\theta} \end{pmatrix} = R^T_{\theta}

R_{-\theta} = R^{-1}_{\theta}

如果一个矩阵的逆等于其转置，我们这个矩阵为正交矩阵。

3D 变换

3 维旋转矩阵有 3 个矩阵，分别绕 x 轴，y 轴，z 轴旋转。由于我们采用的是右手系，因此旋转是有定向的，正如在二维中，是 x 轴向 y 轴旋转，对应到 3 维中便是绕 z 轴旋转( x 轴转向 y 轴)，绕 x 轴旋转( y 转向 z )，绕 y 轴旋转( z 转向 x )。

R_x({\alpha}) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & cos_{\alpha} & -sin_{\alpha} & 0 \\ 0 & sin_{\alpha} & cos_{\alpha} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

绕 x 轴旋转，故 x 不变，且 y 转向 z

R_y({\alpha}) = \begin{pmatrix} cos_{\alpha} & 0 & sin_{\alpha} & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ -sin_{\alpha} & 0 & cos_{\alpha} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

绕 y 轴旋转，故 y 不变，因为是 z 转向 x，所以此处需要求逆

R_z({\alpha}) = \begin{pmatrix} cos_{\alpha} & -sin_{\alpha} & 0 & 0 \\ sin_{\alpha} & cos_{\alpha} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

绕 z 轴旋转，故 z 不变，x 转向 y

绕任意轴旋转

绕任意轴旋转，首先将该轴旋转到任意的 x, y, z 轴上，然后可以应用基本的旋转矩阵，最后再逆旋转回来即可

R_1R_xR_1^T \times (x, y, z)^T

这里R_x的求法，从上面的解释可以得到，问题是如何求R_1，设想我们围绕旋转的轴为 u，R_1便是将 u 转到 x 的矩阵。具体来说，这里需要以 u 为一轴，构造一个 3 维正交坐标系，然后将 u-x 对齐，其他两轴和 y，z 对齐。

构造如下，任取一 t 方向不与 u 重合。

w = t \times u \\ v = u \times w

此时，u, w, v 便是我们构造出来的新坐标。注，这里是用叉乘。

如何将新坐标和原始坐标系重合呢？取R_1 = (u, w, v)，该旋转矩阵的含义便是将 x, y, z 旋转到 u, w, v 的旋转矩阵。因此

\begin{bmatrix} x_u & x_v & x_w \\ y_u & y_v & y_w \\ z_u & z_v & z_w \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & cos_{\alpha} & -sin_{\alpha} \\ 0 & sin_{\alpha} & cos_{\alpha} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_u & y_u & z_u \\ x_v & y_v & z_v \\ x_w & y_w & z_w \end{bmatrix}

罗德里格旋转公式

绕旋转轴\vec{n}旋转角度\alpha

视图变换(Viewing/Camera transformation)

什么是视图变换

用拍照来比喻一下：

找一个好位置，安排模特(model transformation)
找一个好的角度，摆放相机(view transformation)
拍照! (projection transformation)

如何视图变换

首先定义相机：

Position\vec{e}
Look-at / gaze direction\hat{g}
Up direction\hat{t}

如果相机和物体一起变换，那么相对不变。

所以，我们规定将相机放在原点，up 在 Y 轴，看向 -z 方向

这样做的原因是，以后有很多操作会非常方便。

那么如何求变换矩阵M_{view}?

将 e 平移到原点
旋转 g 到 -Z
旋转 t 到 Y
旋转(g \times t)到 X

M_{view} = R_{view}T_{view}

首先

T_{view} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & -x_e \\ 0 & 1 & 0 & -y_e \\ 0 & 0 & 1 & -z_e \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}

旋转 g 到 -Z，t 到 Y，g \times t到 X。

反向考虑一下，X 到(g \times t)，Y 到 t，Z 到 -g。

投影变换(Projection transformation)

投影的目的是将 3D 映射为 2D
正交投影(orthographic projection)
透视投影(perspective projection)

对于正交投影，3D 中平行的线，投影之后还是平行。而透视投影则不是。

正交投影

相机位于原点，朝向 -Z，up 位于 Y
丢弃 Z 轴
平移并且缩放结果在一个矩形中[-1, 1]^2

更常规得看，我们是将一个立方体[l, r] \times [b, t] \times [f, n]映射到一个(正则，规范、标准)的立方体[-1, 1]^3

变换矩阵

先平移，再缩放

M_{ortho} = \begin{bmatrix} \frac{2}{r-l} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{2}{t-b} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{2}{n-f} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & -\frac{r+l}{2} \\ 0 & 1 & 0 & -\frac{t+b}{2} \\ 0 & 0 & 1 & -\frac{n+f}{2} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}

这里可能会有人有疑问，为什么要压缩到一个小立方体呢？其实是为了之后计算方便，在转换到屏幕坐标的时候就会重新拉伸回来，不必太纠结。